精神与物质
让我们回到前面的“追龟”问题中.阿基里斯“追龟”的总路程虽然是无限个很小的正数之和，但是其结果是一个有限的数！然而，这种情况并非总是幸运的.中世纪法国数学家奥塞姆(Oresme，—)于年在他的《欧几里德几何问题》小册子中，研究了下面式子
尽管其后面的分数越来越小，由于
将所有不等式(或等式)相加，于是
从最后一个式子看，因为
当n→∞时，变量(n2)是无穷大，所以式(4.5.1)也为无穷大，即式(4.5.1)不是一个有限的数.
有时候，人们会受到有限思想的禁锢，可能不知不觉地会将有限的运算规律运用到无限的运算中去.例如：
下面是用三种不同的方法计算式子
你认为哪种算法是正确的呢？
按照方法1的计算零加零，再加零，再加零，……其结果应该是零呀！可是按照另外两种不同方法计算其结果居然既可以是1，还可以是(1/2)！这是怎么一回事呢？
出生于德国的数学家莱布尼茨认为，如果取第一项、前两项的和、前三项的和、前四项的和……，即
1，1-1，1-1+1，1-1+1-1，…
就得到1，0，1，0，…在这里，取1和0的可能性是相等的，因此必须取算术平均数(1/2)作为和，即他同意式(4.5.3)的结果.年左右，瑞士数学家欧拉在研究这方面的问题时也主张式(4.5.3)的结果.
实际上，当时人们对无限观念的认识有缺陷：认为不论多少个(甚至无限多个)0相加一定还是0.
无限个0相加结果是什么，居然不能说清楚？难道式(4.5.2)不是一个数？明明写的是数与数的和，为什么它不是数呢？怪就怪在“…”，它表示无限个数.有人说因为它有无限个数运算，连写都写不完，当然没有一个明确的结果，所以它不是一个数.
不妨我们用前面计算阿基里斯“追龟”总路程的方法尝试研究式(4.5.2)，看看其结果到底会怎么样！
显然，数列1，-1，1，-1，1，-1，…是首项为1，公比为-1的等比数列.它的前n项和为
这说明无限和有限确实不同.哲学家发问：何谓无限？它与有限究竟有什么本质的不同？人能认识无限吗？
为什么我们要弄清楚无限概念，这是因为它事关我们的数学基础问题.例如，“自然数有无限个”就是“数不完”，也就是从头开始写下去，你要没完没了地写下去.看来我们有限的生命是无法完成的了.既然连数都数不完，又怎么能说“全体自然数”如何如何呢？如果不能说清楚自然数全体，岂不是数学理论大厦倒塌了，一切的科学成果成为谬论？数学家和哲学家都要弄清楚无限概念.
出生于哥尼斯堡的德国哲学家康德(Kant，—)认为，人认识世界受到很多因素的制约.“宇宙是有限还是无限的？”我们人不可能得到确切的答案，因为人的理性思维能力不够.这实际上涉及“无限”概念从何而来？
公元前~公元前年间，雅典出现了一位划时代的哲学家苏格拉底.他将哲学从“天上”召唤到人间，即从对自然规律研究转向对人与社会的研究.他的一位学生，就是那位著名的哲学家柏拉图，创立了理念唯心主义哲学体系.他认为物质世界的背后必定有一个实在存在，称之为“理型世界”，其中包含存在自然界各种现象背后的永恒不变的模式.
例如，“狗”的概念从何而来呢？柏拉图认为先有狗的“模子”(在理型世界中)，才创造出所有的黑狗、黄狗、矮狗、…….现实世界上所有事物虽然变化，但都是理型(精神)世界中相应“模子”的影子.
柏拉图曾用“穴居人”故事来阐述他的观点：
有些人住在地下的洞穴中，自出生以来就背向洞口，手脚反绑、面壁而坐.他们身后是一堵高墙，墙后面有一些人形生物走过，手中举着各种不同形状的人偶.由于人偶高过墙头，同时在墙与洞穴之间还有一把火炬，因此这些人偶在洞穴的后壁上投下明明灭灭的影子.穴居人认为这些影子就是世间唯一存在的东西了.
有一个穴居人设法挣脱了他的锁链.他问自己的第一个问题便是：洞穴上的这些影子从何而来？他一转身，看到墙头上高举着的人偶大感惊讶，因为他过去看到的只是这些人偶的影子而已.他想法爬过了墙，进入外面的世界，他会感到更加惊讶.他生平第一次看到色彩与清楚的形体.看到了真正的动物与花朵而不是洞穴里那些贫乏的影子.他问这些动物与花朵从何而来？然后，他看到天空中的太阳，并悟出这就是生命赋予那些动物与花朵的源头.
这个穴居人如获至宝.他原本可以从此奔向乡间，为自己获得自由而欢呼雀跃，但他却想到那些仍然留在洞里的人.于是他回到洞中，试图说服其他的穴居人，使他们相信洞壁上那些影子只不过是“真实”事物的闪烁影子罢了.然而他们不相信他，并指着洞壁说除了他们所见的影子之外，世间再也没有其他事物了.最后他们把那个人杀了.
柏拉图在这里想说的是：黑暗洞穴与外在世界的关系就像是自然世界的形式与理型世界的关系，现实世界比起鲜明清楚的理型世界来，就显得黑暗而平淡了.柏拉图由此比喻先有理型世界，然后才有现实世界.可见这是一种先精神后物质的唯心主义观点，数学受其影响最深刻.比如，既然自然数多的连数都数不完，那么“自然数全体”作为东西是否存在呢？
观察自然数数列
0，1，2，…，n，…
这里用什么符号来表示自然数当然是无关紧要的.要紧的是，它是从一个有限数0开始，后继数都由加1的手续产生.这个数列中的n表示一般的任意自然数(n2).n之前的“…”表示2与n之间可能存在的有很多个依次增大的自然数，而n之后的“…”则表示“无限相续”之意.
正是对n之后的“…”的不同理解，导致了数学界和哲学界内部的长期分歧，因为对“无限相续”可以有两种彼此对立的观点和解释.
一种观点认为：“自然数全体”是存在的.自然数虽然数不完，但对每个具体的自然数而言都是可以数得到的，所以每个自然数都存在.既然每个自然数都存在，于是按柏拉图观点，“自然数全体”作为东西应该早就存在于理型世界中了.数学上把这种观点叫做“实在无穷”(或叫“实无限”).
柏拉图的弟子亚里士多德，就是那位说过“我爱我师，但我更爱真理”的，集古希腊哲学于大成者.他认为他的老师把整个观念弄反了.应该是先有现实世界，然后才有理型世界.因为没有天生的概念，理型的狗，实际上就是那些具体狗的共同特征而形成的集合：狗的概念={“狗”
“狗”具有狗的共同特征，如有四肢、善啃骨头、善跑……}.显然，这是一种唯物主义观点.
亚里士多德反对“实在无穷”的观点.他认为：自然数数不完，这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程.只有这个过程结束了，才得到“自然数全体”.但这个过程永不结束，因而无法得到“自然数全体”.即这个“无穷”表现为变化发展的过程，这叫“潜无穷”(或“潜无限”).我们究竟赞同谁的“无穷”呢？数学思维方式是怎样解决的呢？
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